从a^b与b^a出发：同构思想

$a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系 Link to a^b 与 b^a 的大小关系

引言 Link to 引言

一切要从这个比大小的问题说起。

小学就有过这样子的比较大小：$3^4$ 和 $4^3$ 哪个大？

这时，我们会把它们计算出来：

$3^4 = 81, 4^3 = 64$

$∵ 81 > 64$

$∴ 3^4 > 4^3$

接下来它又会问：当 $a ≥$ ___ 时，$a^b > b^a (a < b)$？

这时，我们会找规律，发现 $1^2 < 2^1$，$2^3 < 3^2$，而 $3^4 > 4^3$，那么答案就是 3 了。

但是，找规律这种投机取巧不严谨的方法，怎么能用呢？

函数的解法 Link to 函数的解法

提到比较大小，很自然地能想到利用函数的单调性。

• 令 $f(x) = \frac{lnx}{x}$ ，则 $f'(x) = 1 - lnx$
• 故 当 $0 < x < e$ 时，$f'(x) > 0$；当 $e < x$ 时，$f'(x) < 0$
• ∴ $f(x)$ 在 $[0, e]$ 上单调增，在 $[e, +∞]$ 上单调减
• 若 $0 < x_1 < x_2 < e$，则 $\frac{lnx_1}{x_1} < \frac{lnx_2}{x_2}$
• 则 $x_2lnx_1 < x_1lnx_2$
• 则 $lnx_1^{x_2} < lnx_2^{x_1}$
• 则 $x_1^{x_2} < x_2^{x_1}$
• 同理可证，$e < x_1 < x_2$ 时，$x_1^{x_2} > x_2^{x_1}$

通过这个证明，我们明确的知道了这个问题变号的临界值是：$e$

同构思想 Link to 同构思想

那么问题来了，上面的过程中是怎么想到要构造 $f(x) = \frac{lnx}{x}$ 呢？